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本文目录一览：

• 1、数学斯托克斯公式是什么？
• 2、斯托克斯公式的理解问题
• 3、怎么证明斯托克斯定理
• 4、高数斯托克斯公式
• 5、斯托克斯公式的公式内容
• 6、斯托克斯公式

数学斯托克斯公式是什么？

斯托克斯公式：

(



RQPRQP

)dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxy

cos

yQ

coszR

dydzdzdxcos

上式左端又可写成：xyzx

PQRP

RQPRQP

空间曲线积分与路径无

yzzxxyijk



旋度：rotA

xyzPQR



向量场A沿有向闭曲线PdxQdyRdzAtds

斯托克斯公式的理解问题

设γ为分段光滑的空间有向闭曲线，s是以

为边界的分片光滑的有向曲面，γ的正向与s的侧符合右手规则，函数p(x,y,z)、q(x,y,z)、r(x,y,z)在曲面s（连同边界γ）上具有一阶连续偏导数，则有

旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，下图中，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。

这个公式叫做

上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：

另一种形式

通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：

流形上的斯托克斯公式

令m为一个可定向分段光滑n维流形，令ω为m上的n-1阶

类紧支撑微分形式。如果

表示m的边界，并以m的方向诱导的方向为边界的方向，则

这里dω是ω的外微分,

只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized

stokes'

formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、

上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。

该定理经常用于m是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

[2]

怎么证明斯托克斯定理

根据算符▽的微分形与矢量形，推导下列公式：▽（A·B）=B×（▽×A）+（B·▽）A+A×（▽×B）+（A·▽）B，A×（▽×A）=▽A2/2-（A·▽）A。

设u是空间坐标x，y，z的函数，证明：▽f(u)=df/du▽u，▽·A(u)= ▽u·dA/du，▽×A(u)= ▽u×dA/du。

设r=√[(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2]为源点x’到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。应用高斯定理证明∫vdV×f=∮sdS×f，应用斯托克斯定理证明∫sdS×▽ψ=∮Ldlψ。

含义

该定理经常用于M是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

高数斯托克斯公式

其实这题的投影面也是个椭圆，不过用一型和二型的积分做法是不同的。

Γ为x²+y²+z²=a²与x+y+z=0的交线

从x正轴往x负轴看过去是逆时针的方向，即正向，取 +

∮_(Γ) y dx + z dy + x dz

= ∫∫_(Σ) rotA * n dS，-- Stokes公式

= ∫∫_(Σ) - dydz - dzdx - dxdy

= - ∫∫_(Σ) dydz + dzdx + dxdy

取Σ为平面z = - x - y，z'x = z'y = - 1，取上侧

则在xOy面的投影为椭圆区域：x²+y²+(x+y)²=a²

这个椭圆面积很难算，是a²π/√3

= - ∫∫_(D) [ (1)(- z'x) + (1)(- z'y) + 1 ] dxdy

= - ∫∫_(D) [ (1)(1) + (1)(1) + 1 ] dxdy

= - 3∫∫_(D) dxdy

= - 3 * 椭圆D的面积

= - 3 * a²π/√3

= - √3πa²

斯托克斯公式的公式内容

设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，S是以 为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与S的侧符合右手规则，函数在曲面S（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有

旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，下图中，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。

这个公式叫做 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：

通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：

令M为一个可定向分段光滑n维流形，令ω为M上的n-1阶 类紧支撑微分形式。如果 表示M的边界，并以M的方向诱导的方向为边界的方向，则

这里dω是ω的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。

该定理经常用于M是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

斯托克斯公式

斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。

当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。

物理场的观点是

建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。

ℝ³ 上的斯托克斯公式

设S 是 分片光滑的有向曲面，S 的边界为有向闭曲线Γ ，即，且Γ 的正向与 S 的侧符合右手规则： 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定义在“曲面 S连同其边界 Γ”上且都具有一阶连续偏导数的函数 ，则有

斯托克斯公式

这个公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用散度算符可写成：

、

它将ℝ³ 空间上“向量场的旋度的曲面积分”跟“向量场在曲面边界上的线积分”之间建立联系，这是一般的斯托克斯公式（在 n#x00三维;2 时）的特例，我们只需用ℝ³ 空间上的度量把向量场看作等价的1形式。该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森（开尔文勋爵）给出，出现在他给斯托克斯的信中。

类似的，高斯散度定理

也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。

通过以下公式可以在对坐标的“曲线积分”和对面积的“面积积分”之间相互转换：

流形上的斯托克斯公式

令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则

这里 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。

该定理经常用于M是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。